Série de variables aléatoires - Math'φsics

Série de variables aléatoires

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Théorème de convergence de séries de variables aléatoires :
\((Z_n)_n\) est une suite de v.a. Indépendantes, dans \(L^2\) et centrées

$$\Huge\iff$$

la série \(\sum^{+\infty}_{n=0}Z_n\) converge ps et dans \(L^2\) si et seulement si $$\sum^{+\infty}_{n=0}{\Bbb E}[Z^2_n]\lt +\infty$$
Théorème de convergence de variables aléatoires - suite de pile ou face pondérés 1) :
\((a_n)_n\) est une suite de nombres réels dans \([0,1]\)

\(\mathcal E_1, \mathcal E_2,\dots\) est une suite de v.a. Indépendantes, telles que \({\Bbb P}(\mathcal E_i=\pm1)=\frac12\)

\(\sum^{+\infty}_{j=0}a_j^2\lt +\infty\)

$$\Huge\iff$$

\(\sum^{+\infty}_{j=0}a_j\mathcal E_j\) converge ps et dans \(L^2\)
Théorème de convergence de variables aléatoires - suite de pile ou face pondérés 2) :
\((a_n)_n\) est une suite de nombres réels dans \([0,1]\)

\(\mathcal E_1, \mathcal E_2,\dots\) est une suite de v.a. Indépendantes, telles que \({\Bbb P}(\mathcal E_i=\pm1)=\frac12\)

\(\sum^{+\infty}_{j=0}a_j^2=+\infty\)

$$\Huge\iff$$

si on note \(S_n:=\sum^n_{j=0}a_j\mathcal E_j\), alors on a :$$\sup_{n\geqslant0}S_n=+\infty\quad\text{ et }\quad\inf_{n\geqslant0}S_n=-\infty$$